Conjunto sólido

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y en análisis funcional, un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un espacio de Riesz se dice que es sólido y se llama ideal si para todos los ${\displaystyle s\in S}$ y ${\displaystyle x\in X,}$ si ${\displaystyle |x|\leq |s|}$ entonces ${\displaystyle x\in S.}$ Un espacio vectorial ordenado cuyo orden es arquimediano se dice que está ordenado arquimedianamente.^[1]​ Si ${\displaystyle S\subseteq X}$, entonces el ideal generado por ${\displaystyle S}$ es el ideal más pequeño en ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle S.}$ Un ideal generado por un conjunto unitario se llama ideal principal en ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La intersección de una colección arbitraria de ideales en ${\displaystyle X}$ es nuevamente un ideal y, además, ${\displaystyle X}$ es claramente un ideal en sí mismo. Por lo tanto, cada subconjunto de ${\displaystyle X}$ está contenido en un ideal más pequeño único.

En un retículo vectorial localmente convexo ${\displaystyle X,}$ el polar de cada entorno sólido del origen es un subconjunto sólido del espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }}$. Además, la familia de todos los subconjuntos sólidos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }}$ es una familia fundamental de conjuntos equicontinuos, los polares (en ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ bidual) forman una base de entornos del origen de la topología natural en ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ (es decir, la topología de convergencia uniforme del subconjunto equicontinuo de ${\displaystyle X^{\prime }}$).^[2]​

Propiedades

• Un subespacio sólido de una red vectorial ${\displaystyle X}$ es necesariamente una subred de ${\displaystyle X.}$^[1]​
• Si ${\displaystyle N}$ es un subespacio sólido de una red vectorial ${\displaystyle X}$, entonces el cociente ${\displaystyle X/N}$ es una red vectorial (bajo el orden canónico).^[1]​

Véase también

• Espacio de Riesz

Referencias

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.